Multidimensional Scaling (MDS)

Tujuan dari multidimensional scaling (MDS) adalah untuk memberikan gambaran visual dari pola kedekatan yang berupa kesamaan atau jarak diantara sekumpulan objek-objek. Penerapan MDS dapat dijumpai pada visualisasi ilmiah dan data mining dalam ilmu kognitif, informasi, pemasaran maupun ekologi.

Misalnya ketika konsumen  potensial diminta untuk membandingkan produk dan melakukan penilaian mengenai kesamaan produk tersebut. MDS dapat menunjukkan dimensi penilaian dari responden secara langsung ke dalam pola visualisasi kedekatan mengenai kesamaan produk, berbeda dengan analisis faktor atau diskriminan yang melibatkan penilaian dari si peneliti. Karena keunggulan inilah MDS merupakan suatu alat yang paling umum digunakan dalam pemetaan perceptual (perceptual mapping).

MDS sangat popular dalam penelitian bidang pemasaran untuk perbandingan brand, dan pada psikologi ia digunakan untuk mempelajari dimensi ciri-ciri pribadi. Penggunaan lain MDS adalah pada aplikasi yang menggunakan ranking, rating, pembedaan persepsi, atau dalam pengambilan suara (voting).

Ilustrasi Analisis MDS Berbasis Atribut

Dari survey yang dilakukan terhadap konsumen susu dari beberapa merk, maka dapat diketahui beberapa atribut susu, antara lain: (a) rasa, (b) kekentalan, (c) kandungan gizi, (d) warna, (e) kemasan, (f) kelengkapan informasi pada kemasan, (g) manfaat yang dirasakan, dan (h) kemudahan memperoleh produk.

Analisis Konjoin (Lanjutan 2 – Habis)

Berikut adalah output hasil dari software SPSS.

Hasil perhitungan nilai R = 0,967  adalah sama dengan harga Pearson R pada analisis konjoin. Perhitungan utility setiap level dalam suatu attribut berhubungan dengan hasil estimasi koefisien regresi yang diperoleh. Koefisien regresi yang diperoleh adalah :

b0 = 4,222       b1 = 1,000       b2 =  -0,333     b3 = 1,000       b4 = 0,667
b5 = 2,333       b6 = 1,333

Berikut ini adalah hasil perhitungan utility.

1. Attribut sol  :

a11 + a12 + a13          = 0
a11 – a13                    = b1
a12 – a13                    = b2

 Maka,

a11 – a13                    = 1,000 atau  a11 = 1,000 + a13
a12 – a13                    = -0,333 atau a12 = -0,333 + a13
a11 + a12 + a13          = (1,000 + a13) + (-0,333 + a13) + a13 = 0

= 0,667 + 3.a13 = 0 => a13 = -0,667/3 = -0,222

a11                              = 1,000 – 0,222 = 0,778
a12                              = -0,333 – 0,222 = -0,555

2. Attribut upper  :

a21 + a22 + a23          = 0
a21 – a23                    = b3
a22 – a23                    = b4

 Maka,

a21 – a23                    = 1,000 atau  a21 = 1,000 + a23
a22 – a23                    = 0,667 atau a22 = 0,667 + a23
a21 + a22 + a23          = (1,000 + a23) + (0,667 + a23) + a23 = 0

= 1,667 + 3.a23 = 0 => a23 = -1,667/3 = -0,557

a21                              = 1,000 – 0,557 = 0,443
a22                              = 0,667 – 0,557 = 0,110

3. Attribut price  :

a31 + a32 + a33          = 0
a31 – a33                    = b5
a32 – a33                    = b6

 Maka,

a31 – a33                    = 2,333 atau  a31 = 2,333 + a33
a32 – a33                    = 1,333 atau a32 = 1,333 + a33
a31 + a32 + a33          = (2,333 + a33) + (1,333 + a33) + a33 = 0

= 3,666 + 3.a33 = 0 => a33 = -3,666/3 = -1,222

a31                              = 2,333 – 1,222 = 1,111
a32                              = 1,333 – 1,222 = 0,111

Perhitungan di atas adalah sama dengan hasil analisis konjoin. Model analisis konjoin yang dihasilkan adalah :

Y = 4,222 + 1,000X1  – 0,333X2 + 1,000X3 + 0,667X4 + 2,333X5+ 1,333X6

Nilai prediksi preferensi dari persamaan regresi ini digunakan untuk menghitung koefisien korelasi Kendall’s tau. Perhitungan korelasi Kendall’s tau dilakukan dengan terlebih dahulu menghitung rangking dari data preferensi dan prediksi preferensi. Dalam software SPSS koefisien ini bisa diperoleh dari menu Analyze | Descriptive Statistics | Crosstabs. Aktifkan Suppres table, untuk tidak menampilkan tabel tabulasi silang. Masukkan ranking preferensi ke rows dan rangking prediksi preferensi ke column. Klik sub menu Statistics, aktifkan Kendall’s tau-b maka akan dihasilkan output seperti pada gambar berikut. Koefisien korelasi Kendall’s tau yang dihasilkan adalah 0,937.

Tabel berikut adalah data prediksi preferensi dan ranking kedua variabel untuk menghitung korelasi Tau Kendall.

Profile	Y	Unstandardized Predicted Value	RANK of Y	RANK of PRE_1	RA	RB
1	9	8.55556	9.000	9.000	0	0
2	7	7.22222	7.500	7.500	1	0
3	5	5.22222	2.000	2.500	6	1
4	6	6.22222	5.000	5.500	3	1
5	5	4.55556	2.000	1.000	7	0
6	6	6.22222	5.000	5.500	3	1
7	5	5.22222	2.000	2.500	6	0
8	7	7.22222	7.500	7.500	1	0
9	6	5.55556	5.000	4.000	3	0

LAMPIRAN

Command lengkap untuk analisis konjoin

Conjoint Command Syntax

 CONJOINT [PLAN=file]
   [/DATA=file]
    /{SEQUENCE}=varlist
     {RANK    }
     {SCORE   }
   [/SUBJECT=variable]
   [/FACTORS=varlist['labels']
       ([{DISCRETE[{MORE}]}][values['labels']])]
                   {LESS}
         {LINEAR[{MORE}]  }
                 {LESS}
         {IDEAL           }
         {ANTIIDEAL       }
           varlist...
  [/PRINT={ALL**     }[SUMMARYONLY] ]
          {ANALYSIS  }
          {SIMULATION}
          {NONE      }
  [/UTILITY=file]
  [/PLOT={SUMMARY}]
         {SUBJECT}
         {ALL    }
         {NONE** }
**Default if the subcommand is omitted.
Default for PLAN and /DATA is the working data file.

Analisis Konjoin (Lanjutan 1)

Pentingnya suatu attribut dihitung dengan menghitung selisih utility maksimum terhadap minimum, yang dihitung dengan rumus :

Ii = (max αij – min αij ) …………………………………………………………(1)

Kepentingan attribut  sole       :  I_sol          = 0,7778 – (-0,5556) = 1,3334

Kepentingan attribut  upper     :  I_upper      = 0,4444 – (-0,5556) = 1,0000

Kepentingan attribut  price      :  I_price        = 1,1111 – (-1,2222) = 2,3333

Pentingnya attribut ini dinormalkan, dalam kaitannya dengan kepentingan relatif terhadap attribut lainnya (W_i).

Wi = Ii / Σ Ii     …………………………………………………………………………….(2)

dan

Σ Wi = 1      ………………………………………………………………………………..  (3)

Jumlah pentingnya ketiga attribut adalah :

1,3334 + 1,0000 + 2,3333 = 4,6667

Sehingga :

W_sole    = 1,3334 / 4,6667 = 0,2857

W_upper  = 1,0000 / 4,6667 = 0,2143

W_price   = 2,3333 / 4,6667 = 0,5000

Dengan demikian hubungan relatif yang terpenting dari ketiga attribut di atas adalah harga (50,00%), sol (28,57%) dan penutup atas (21,43%). Karena harga merupakan faktor yang sangat penting dalam pemilihan sepatu, maka bagi sebuah sepatu harga adalah suatu hal yang sangat sensitif.

Koefisien korelasi Pearson R sebesar  0,967 (significance = 0,0000) menjelaskan bahwa hubungan nilai preferensi konsumen dengan hasil prediksi preferensi dari model yang dihasilkan pada analisis konjoin adalah sebesar 0,967. Hasil ini diaplikasikan jika pengukuran dilakukan dengan rating preferensi. Model konjoin yang signifikan menjelaskan bahwa tingkat kesukaan konsumen terhadap produk sepatu memang dapat dijelaskan oleh attribut sol, penutup atas dan harga. Koefisien korelasi Kendall’s tau sebesar 0,937 (significance = 0,0006) memiliki fungsi yang sama dengan koefisien korelasi Pearson R.

Nilai konstanta sebesar 6,2222 menjelaskan bahwa rata-rata preferensi terhadap sembilan profile sepatu yang ditawarkan adalah 6,2222. Pada preferensi dengan skala 1 – 9. nilai rata-rata sebesar 6,2222 memberikan indikasi bahwa kesembilan profile adalah cukup disukai.

Hubungan Analisis Konjoin Dengan Analisis Regresi Linier Berganda

Analisis konjoin dapat dihitung dengan menggunakan analisis regresi linier berganda. Pada mulanya adalah melakukan transformasi pada attribut menjadi variabel dummi. Berikut adalah tabel pembentukan variabel dummi pada ketiga attribut :

Sole	X1	X2	Upper	X3	X4	Price	X5	X6
Karet	1	0	Kulit	1	0	Rp 15.000,-	1	0
Polimer	0	1	Canvas	0	1	Rp 30.000.-	0	1
Plastik	0	0	Nylon	0	0	Rp 45.000,-	0	0

Format data dalam analisis regresi terdiri atas 6 variabel dummi dengan sebuah variabel dependen yang berisi data preferensi.

No	X1	X2	X3	X4	X5	X6	Y
1	1	0	1	0	1	0	9
2	1	0	0	1	0	1	7
3	1	0	0	0	0	0	5
4	0	1	1	0	0	1	6
5	0	1	0	1	0	0	5
6	0	1	0	0	1	0	6
7	0	0	1	0	0	0	5
8	0	0	0	1	1	0	7
9	0	0	0	0	0	1	6

Selanjutnya lakukan prosedur analisis regresi linier berganda dengan Y sebagai variabel dependen dan X1 hingga X6 menjadi variabel independen. Hasil nilai prediksi dari persamaan regresi diperlukan untuk dihubungan dengan koefisien korelasi Kendall’s tan. 

ANALISIS KONJOIN

Pilihan produk apa yang lebih disukai konsumen? Sepatu apa yang banyak diminati? Apakah mutu sol, penutup atas atau harga yang menjadi penentu keputusan pembelian? Sehingga sepatu dengan komposisi pilihan seperti apa yang paling baik untuk ditawarkan? Persoalan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan analisis konjoin.

Attribut dan Profile

 

Melakukan analisis dengan konjoin sangat erat kaitannya dengan pengetahuan seseorang terhadap analisis regresi berganda, variabel dummi, korelasi Pearson dan korelasi Tau Kendall. Format pengukuran terhadap konsumen (responden) dapat menggunakan isian ranking atau rating preference. Berikut ini adalah sebuah contoh kasus pemilihan produk sepatu yang diduga dipengaruhi oleh mutu sol (sole), penutup atas (upper) dan harga (price). Ketiga hal ini dalam analisis konjoin disebut dengan attribut. Pada setiap attribut minimal terdiri atas 2 level pilihan.  Kombinasi seluruh attribut yang dianalisis dinamakan dengan profile. Tabel berikut adalah komposisi attribut yang digunakan dalam analisis.

Attribut	No	Level
Sol	1	Karet
	2	Polimer
	3	Plastik
Penutup Atas	1	Kulit
	2	Canvas
	3	Nylon
Harga	1	Rp 15.000,-
	2	Rp 30.000.-
	3	Rp 45.000,-

Berdasarkan tabel di atas, kemungkinan profile sepatu yang bisa terjadi adalah 3 X 3 X 3 = 27 profile. Akan tetapi pada prakteknya tidak semua profile bisa dibuat, misalnya bahan dasar sol dengan karet yang berharga mahal tidak mungkin dijual dengan harga Rp 15.000,-. Sehingga dari 27 profile akan dipilih sebanyak p buah profile beberapa diantaranya untuk dianalisis. Pemilihan p buah profile ini harus bersifat ortogonal, pada umunya user akan menggunakan bantuan software untuk menghasilkan pilihan ini.

Data Kerja Analisis Konjoin Pada SPSS

 

Pada SPSS, menyusun profile yang ortogonal dapat dilakukan dengan memilih menu Data | Orthogonal Design | Generate. Tulis “sole” pada kotak Factor Name, tulis “Sol” pada Factor Label, klik Add maka dalam kotak akan muncul sole(?). Tanda (?) dimaksudkan untuk mengisi level-level pada attribut sole dengan cara klik attribut sole dan dilajutkan dengan klik Define Values. Isikan nomor dan label dari tiap-tiap level attribut. Lakukan hal yang sama untuk attribut upper dan price. Pada kotak Data File pilih Replace working data file jika profile yang dibuat berupa file baru. Jika total kombinasi attribut akan menghasilkan profile yang terlalu banyak, analisis dilanjutkan dengan memilih Option dan isi jumlah profile yang dikehendaki (dalam kasus ini adalah 9) pada isian Minimum number of cases to generate. Klik Continue.

Pembuktian bahwa profile yang dihasilkan adalah ortogonal dapat dilakukan dengan memunculkan matriks korelasi antara sole, upper dan price. Matriks korelasi yang ortogonal akan berbentuk seperti matriks identitas, yaitu matriks dengan elemen diagonal bernilai 1 dan 0 untuk elemen lainnya.

Hasil generate ini menjelaskan bahwa pada profile ke-1 adalah produk sepatu dengan sol karet, penutup atas dari kulit dan harga Rp 15.000,-. Pada profile ke-9 adalah produk sepatu dengan sol plastik, penutup atas dari Nylon dan harga Rp 30.000,-. Matriks korelasi antara ketiga faktor adalah ortogonal, karena berbentuk matriks identitas. Hasil desain ortogonal ini akan disimpan sebagai file tersendiri, katakanlah diberi nama DESAIN.SAV.

Selanjutnya, disiapkan file kedua yang merupakan hasil pengukuran konsumen (responden) terhadap sembilan profile yang ditawarkan. Secara berurutan kolom pertama adalah jawaban (respon) terhadap profile pertama. Berikut adalah contoh pengisian jawaban seorang responden terhadap sembilan profile sepatu. File ini diberi nama PREFERENSI.SAV.

Kolom
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
SUBJ	P1	P2	P3	P4	P5	P6	P7	P8	P9
1	9	7	5	6	5	6	5	7	6

Proses analisis konjoin dilakukan dengan posisi file yang aktif adalah file yang mengandung desain ortogonal (file  DESAIN.SAV).  Pada SPSS 20 menu pull-down belum tersedia, sehingga analisis konjoin dilakukan dengan menulis command di jendela syntax.

CONJOINT PLAN=*
/DATA=’PREFERENSI.SAV’
/FACTORS=SOLE UPPER PRICE
/SUBJECT=SUBJ
/SCORE=P1 TO P9
/PRINT=SUMMARYONLY.

Hasil running dari syntax mengandung beberapa hal penting antara lain importance dan averaged importance, utility dan standard error, nilai constant, korelasi Pearson’s R dan korelasi Kendall’s tau.  Importance adalah tingkat kepentingan relatif yang ada pada setiap attribut. Total importance adalah 100%. Pada bagian summary nilai diperoleh dari rata-rata importance (averaged importance). Nilai utility menjelaskan tingkat pilihan antar level dalam suatu attribut. Tanda positif menunjukkan level yang lebih banyak dipilih, sedangkan tanda negatif menunjukkan tidak banyak dipilih. Nilai utility pada setiap subject akan mengandung standard error (s.e), sedangkan pada summary hanya mengandung nilai rata-rata utility dari seluruh subject. Nilai constant menjelaskan nilai rata-rata prefensi untuk seluruh profile. Nilai Pearson’s R menjelaskan tingkat hubungan preferensi dengan hasil prediksi. Nilai ini memiliki arti interpretasi yang sama dengan multiple correlation dalam analisis regresi berganda dan diaplikasikan jika pengukuran dilakukan dengan rating preference. Nilai Kendall’s tau juga menjelaskan tingkat hubungan preferensi dengan hasil prediksi yang dihitung dengan korelasi Tau Kendall. Penggunaan nilai Kendall’s tau digunakan jika data diukur dengan ranking.  Berikut adalah hasil running dari syntax di atas.

Interpretasi Hasil Analisis

 

Interpretasi dari hasil-hasil analisis yang berhubungan dengan nilai utility dapat dijelaskan sebagai berikut :

1. Konsumen paling suka memakai sepatu baru dengan sol terbuat dari karet (0,7778); pilihan kedua adalah sol dari plastik (-0,2222) dan ketiga sol dari polimer (-0,5556).
2. Untuk penutup atas, konsumen lebih suka memakai sepatu dengan penutup atas terbuat dari kulit (0,4444); preferensi kedua adalah dari kanvas (0,1111) dan ketiga dari Nylon (-0,5556).
3. Sedangkan mengenai harga, konsumen lebih suka pada sepatu dengan harga Rp 15.000,- (1,1111). Preferensi kedua dengan harga Rp 30.000,- (0,1111)  dan ketiga dengan harga Rp 45.000,- (-1,2222).

 

Menguji Distribusi Data dengan MINITAB

Menguji distribusi data, ibarat Anda sedang memilih baju yang cocok. Diantara sekian banyak kriteria, salah satunya adalah akan memilih baju yang “pas” atau “cocok”. Apa yang ada di dalam pikiran Anda bila seseorang yang sebenarnya kurus menggunakan baju yang cukup longgar. Sepintas Anda mungkin akan menduga orang tersebut berbadan gemuk, akan tetapi seandainya orang itu memakai baju yang “pas” dengan kondisi badannya, tentu dugaan Anda tidak akan keliru bahwa orang itu berbadan kurus. Menunjukkan baju yang “pas” bagi seseorang tidak cukup dengan memegang dan melihat baju itu, tetapi harus masuk ke “kamar pas” dan mencari baju yang tepat diantara sekian banyak pilihan. Begitu pula dengan data, distribusi atau sebarannya kadangkala dibutuhkan untuk diketahui. Hasil perhitungan yang berhubungan dengan nilai harapan atau nilai simpangan akan berbeda apabila dihitung dari distribusi yang berbeda.  Berikut adalah contoh kasus tentang menguji distribusi data curah hujan dengan software bantu MINITAB versi 16.

Uji distribusi dilakukan pada data curah hujan bulanan selama 29 tahun (348 bulan). Data curah hujan sangat beragam, dan dari hasil perhitungan mean serta standard deviation yang hampir sama memberikan indikasi bahwa dalam setiap tahun selalu akan dijumpai curah hujan yang bersifat ekstrim (sangat tinggi). Visualisasi dengan grafik boxplot seperti pada gambar dibawah ini merupakan bentuk lain untuk melihat gambaran data secara deskriptif  pada penelitian ini.

Boxplot pada data tahunan tampak bahwa nilai rata-rata yang ditunjukkan oleh tanda garis di tengah kotak selalu berada pada posisi bawah. Pola ini terbaca bahwa sebagian besar data berada di sisi kiri, sedangkan pada sebagian lainnya bernilai tinggi yang ekstrim dengan munculnya tanda ‘*’. Karakteristik data yang tidak simetris dengan proporsi data lebih banyak pada sisi kiri, maka diduga bahwa data curah hujan akan mengikuti distribusi large extreme value. Sebagai contoh bentuk distribusi ini dengan nilai paramater  location = 200 dan scale = 175 adalah gambar berikut.

Bentuk histogram data curah hujan pada penelitian ini mempunyai pola distribusi yang hampir sama dengan distribusi large extreme value. Selanjutnya sebaran data ini akan diuji dengan beberapa distribusi lainnya sebagai pembanding yaitu : lognormal, weibull dan gamma.

Pada software MINITAB, prosedur pengujian distribusi data tersedia dalam menu utama Stat, dilanjutkan dengan sub menu Quality Tools, pilih Individual Distribution Identification. Teknik pengujian distibusi yang ada dalam software ini adalah uji Anderson Darling dengan hipotesis statistik :

H0       : Distribusi data sesuai dengan distribusi yang diuji

H1       : Distribusi data tidak sesuai dengan distribusi yang diuji

Pengujian distribusi data dengan tingkat kesalahan (α) sebesar 0,05 akan memberikan keputusan bahwa distribusi yang diuji cocok dengan distribusi data, apabila p-value yang terhitung bernilai lebih besar dari 0,05. Berikut ini adalah hasil uji pada keempat distribusi yang diduga cocok dengan distribusi data curah hujan :

 

Hasil uji kecocokan model yang dilakukan dengan uji Anderson Darling (AD), disitrbusi largest extreme value memiliki p-value = 0,051 dan bernilai paling tinggi dibandingkan dengan distribusi lainnya. Sehingga hasil uji telah memberikan bukti yang cukup bahwa data curah hujan mengikuti distribusi  largest extreme value dengan parameter location = 225,72 dan scale = 172,42.  Kecocokan distribusi berdasarkan hasil uji ini selanjutnya akan digambarkan melalui “fit data” terhadap histogram

Tabulasi Silang : Hubungan Dua Variabel Kategori

Tentang tulisan ini, dalam ilmu statistika lebih dikenal dengan sebutan tabel silang (cross-tabulation), yaitu analisis yang ingin menguji apakah dua variabel yang bersifat ketegori bersifat independen (tidak berhubungan) atau dependen (berhubungan).

Contoh “rekaan berdasarkan kasus di atas, andai saja sampel PDAM = 100 dan HIPPAM = 200.  Seandainya hasilnya sebagai berikut :

	<= 47 tahun	>  47 tahun	Total
PDAM	100	0	100
HIPPAM	0	200	200
Total	100	200

Tabel ini, akan menjelaskan bahwa, semua yang menggunakan PDAM adalah penduduk berusia hingga 47 tahun, dan semua yang menggunakan HIPPAM adalah penduduk berusia lebih dari 47 tahun. Atau semua penduduk berusia hingga 47 tahun menggunakan PDAM, dan semua penduduk berusia lebih dari 47 tahun menggunakan HIPPAM. Maka pada kasus semacam ini berarti “ADA HUBUNGAN” antara usia dan air yang dipakai. Hubungan sempurna seperti ini mengakibatkan nilai chi kuadrat yang diperoleh adalah sebesar 300 (sama dengan jumlah sampel). Begitu pula bila tabelnya sebagai berikut :

	<= 47 tahun	>  47 tahun	Total
PDAM	0	100	100
HIPPAM	200	0	200
Total	200	100

Akan tetapi bila, komposisi hasil frekuensi adalah berimbang, seperti pada tabel berikut :

	<= 47 tahun	>  47 tahun	Total
PDAM	50	50	100
HIPPAM	100	100	200
Total	150	150

 

Tabel ini bisa dibaca dari dua sisi :

Penduduk yang menggunakan PDAM, 50% berusia hingga 47 tahun, dan 50% berusia lebih dari 47 tahun. Sedangkan pada penduduk yang menggunakan HIPPAM, 50% berusia hingga 47 tahun, dan 50% berusia lebih dari 47 tahun. Artinya, tidak ada kecenderungan usia yang terlihat pada jenis air yang digunakan. Pilihan tersebar merata. Dapat pula di baca dari kolom sebagai berikut :

Pada penduduk berusia hingga 47 tahun, 33,33% memilih PDAM, sedangkan pada penduduk berusaia lebih dari 47 tahun, 33,33 % ,memilih HIPPAM.  Maka, pada tabel ini tidak terihat adanya hubungan antara usia dengan air yang dipakai. Pada tabel yang semacam ini akan menghasilkan nilai chi-square sebesar 0, artinya “TIDAK ADA HUBUNGAN” antara usia dan air yang dipakai.

 

Nah, bagaimana bila, hasil tabel silang yang diperoleh ternyata mempunyai sifat diantara kedua bentuk “ekstrem” ini? Tentu saja bila nilainya mendekati nol, maka kesimpulan akan mengarah pada “TIDAK ADANYA HUBUNGAN” kedua variabel, sedangkan bila nilainya mendekati ukuran sampel (pada contoh ini adalah 300), maka kesimpulan akan mengarah pada “ADANYA HUBUNGAN” kedua variabel. Sehingga dibutuhkan sebuah “nilai kritis” yang akan mempermudah pengambilan keputusan pada tingkat kesalahan sebesar alpha, dan terkoreksi oleh jumlah kategori untuk masing-masing variabel, yang disingkat dengan c²(a;(baris-1)(kolom-1)). Pada contoh ini karena kedua variabel memiliki dua kategori, maka simbol nilai kritisnya adalah : c²(0,05;(2-1)(2-1)) atau c²(0,05;1). Nilai kritis ini dapat dengan mudah dihitung melalui EXCELL dengan fungsi : =CHIINV(0.05,1) enter  (tanda sama dengan diketikkan dalam sel excell), akan menghasilkan nilai 3,841459  atau disingkat menjadi 3,84. Apabila nilai chi square sama dengan atau lebih kecil dari 3,84 maka diperoleh kesimpulan “TIDAK ADANYA HUBUNGAN”, sedangkan bila nilai chi square lebih besar dari 3,84 maka diperoleh kesimpulan “ADANYA HUBUNGAN” pada kedua variabel yang diuji.

Jadi pada contoh sesungguhnya seperti dalam gambar yang dikirim, nilai chi kuadrat (df=1, n=26)=0,008  adalah lebih kecil dari 3,84 memberikan kesimpulan bahwa “TIDAK ADA HUBUNGAN” yang signifikan antara usia dengan jenis air yang dipakai.

 

Pengujian Hipotesis Statistik Dan Vonis Hakim

Siapa yang pernah datang ke ruang pengadilan? Tentu saja dengan tujuan ingin mendengarkan keputusan hakim atas sebuah perkara. Apa yang menarik? Dan apa hubungannya dengan pengujian hipotesis? Kesamaannya adalah teknik dan proses dalam mengambil keputusan dari hasil pengujian.

Perhatikan dengan baik bagaimana tahapan-tahapan hakim dalam memutuskan sebuah perkara pencurian. Pertama, apakah hakim mengetahui pasti bahwa terdakwa yang sedang duduk di depannya adalah seorang pencuri? Tentu hakim tidak tahu apakah orang tersebut seorang pencuri atau tidak. Pada titik ini hakim memilih untuk menganggap bahwa orang ini adalah bukan pencuri, atau biasa dikenal dengan sebutan praduga tidak bersalah.

Kedua, hakim akan mencermati seluruh barang bukti dan saksi yang dikenal dengan sebutan fakta persidangan. Fakta-fakta ini mengarah kemana, apabila dari pihak jaksa lebih kuat, maka hakim cenderung pada keputusan “memenjarakan”. Sebaliknya apabila pihak pembela yang lebih kuat, maka keputusan akan mengarah pada “membebaskan”.

Ketiga, apabila keadaan yang sesungguhnya pada terdakwa adalah bukan pencuri, dan kemudian hakim memberikna keputusan “membebaskan” karena fakta persidangan, maka dikatakan hakim memberikan keputusan yang benar. Sebaliknya apabila hakim memberikan keputusan “penjarakan”, maka hakim memberikan keputusan yang salah karena memasukkan ke dalam penjara seseorang yang tidak bersalah.

Keempat, konsep dan tahapan hakim dalam menjatuhkan keputusan adalah sangat kuat dipengaruhi oleh fakta persidangan yang dihadirkan dalam persidangan. Sehingga  dalam setiap keputusan, hakim akan selalu dibayang-bayangi oleh dua kesalahan : (1) memasukkan ke penjara seseorang yang tidak bersalah, atau (2) membebaskan seseorang yang bersalah.

Konsep yang ada di dalam pengujian statistika juga memiliki tahapan yang sama dengan keputusan hakim di pengadilan. Sebagai contoh sederhana akan dilakukan pembuktian fenomena bahwa prestasi mahasiswa ditentukan oleh berapa banyak buku teks kuliah yang dimiliki. Jumlah buku teks akan disebut sebagai variabel bebas (variabel X), sedangkan prestasi mahasiswa disebut variabel terikat (variabel Y). Pembuktian menggunakan analisis regresi akan diajukan hipotesis statistik :

H0       :  β = 0, melawan

H1       : β ¹ ≠ 0

Coba satu per satu akan dibanding proses keputusan dalam pengujian ini. Pertama, fenomena yang disebut itu mungkin benar (prestasi ditentukan oleh jumlah kepemilikan buku teks), mungkin juga salah  (prestasi tidak ditentukan oleh jumlah kepemilikan buku teks). Pada pilihan ini harus dipilih salah satu diantara dua ini sebagai asumsi awal. Proses penurunan rumus dalam pengujian akan lebih mudah dengan “menganggap” benar pada hipotesis null. Hal ini identik dengan konsep “praduga tidak bersalah”.

Kedua, dilakukan pengumpulan data dengan rancangan desain instrumen yang ketat sehingga seluruh hasil-hasil pengukuran yang teramati akan menjadi bahan-bahan utama dalam pengambilan keputusan. Hal ini identik dengan konsep “fakta persidangan”.

Ketiga, merancang penurunan rumus (biasanya pengguna statistik sudah tinggal menggunakan saja) untuk  mengambil keputusan. Data hasil pengamatan, akan memberikan dua pilihan, yaitu : (1) “anggapan” benar pada hipotesis null, ternyata benar, sehingga akan memberikan kesimpulan bahwa jumlah kepemilikan buku teks tidak menentukan prestasi, atau (2) “anggapan” benar pada hipotesis null, ternyata salah, sehingga akan memberikan kesimpulan bahwa jumlah kepemilikan buku teks menentukan prestasi.

Keempat, dalam pengambilan keputusan, akan ada nilai alpha (α) sebagai sebuah besaran kesalahan bahwa “anggapan benar pada hipotesis null ternyata benar”. Sedangkan pada bagian lain akan menghasilkan nilai P atau p-value  sebegai sebuah besaran kesalahan bahwa “anggapan pada benar hipotesis null ternyata salah”. Inilah yang mendasari konsep teknis dalam pengujian statistik, bila p-value lebih kecil dari nilai alpha (α), maka hipotesis null akan ditolak, dan sebaliknya bila p-value lebih besar dari nilai alpha (α), maka hipotesis null akan diterima.

Validasi Model

Seberapa baik persamaan regresi yang diperoleh untuk menjelaskan variabel terikat, akan tergantung pada seberapa kecil error yang ada dalam analisis. Secara konsep, persamaan regresi yang diperoleh akan diukur proporsi keragaman nilai variabel terikat yang bisa dijelaskan oleh : (1) persamaan itu sendiri yang juga disebut dengan explained deviation dan (2) error yang disebut dengan unexplained deviation. Kedua nilai saling berhubungan, apabila proporsi  explained deviation meningkat, maka proporsi  unexplained deviation akan menurun. Untuk menjelaskan hal ini, dalam analisis regresi terdapat satu besaran statistik yang disebut dengan koefisien determinasi (R²) yang mempunyai nilai 0 – 1. Nilai R² adalah rasio dari jumlah keragaman total pada variabel Y yang bisa dijelaskan oleh persamaan regresi. Pencaran data yang mendekati garis regresi serta koefisien garis yang semakin besar akan menyebabkan harga R² bertambah. Dalam melakukan analisis regresi, disarankan pula untuk memperhatikan apakah  dalam data-data yang dianalisis mengandung  data outlier  atau influential observation.  Apabila dalam data ada data seperti ini, sebaiknya data tersebut  tidak  disertakan dalam analisis, karena akan menimbulkan hasil yang bias.

Nasi Goreng dan Analisis Regresi

Fenomena pada hubungan hasil pengukuran pada beberapa hal akan memiliki sifat kausalitas yang jelas. Sebuah variabel memiliki perubahan nilai yang tergantung pada variabel lainnya dan tidak berlaku kebalikannya. Beberapa contoh berikut ini akan menjelaskan hal tersebut. Jumlah uang yang akan dibelanjakan dalam suatu keluarga sangat tergantung pada berapa besar pendapatan keluarga tersebut dalam satu bulan, akan tetapi tidak berlaku kebalikannya. Kemampuan produksi dalam sebuah usaha kecil ditentukan oleh berapa banyak jumlah karyawan yang dimiliki perusahaan.  Perasaan puas bekerja dalam sebuah organisasi akan mengalami perubahan ketika kebijakan tentang kompensasi diatur menjadi lebih layak dan adil. Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa hasil-hasil pengukuran dari suatu variabel dapat dijelaskan oleh satu atau beberapa variabel lainnya.

Anda tentu dapat merasakan lezatnya nasi goreng yang sedang disantap. Akan tetapi ketika menu nasi goreng itu akan beli di tempat yang berbeda ternyata cita rasa yang diperoleh juga berbeda. Dengan berbagai nama entah itu nasi goreng “Juara Indonesia”, nasi goreng “Gandrung”, nasi goreng “Pak Joko” atau nasi goreng “Ken Arok” sebenarnya menggunakan komponen-komponen yang sama dalam resep masakannya akan tetapi dalam kadar yang berbeda. Komponen utama pada nasi goreng antara lain : bawang merah, bawang putih, cabe merah, saus tomat, minyak wijen, merica, kecap, telur dan daging ayam. Apakah jumlah bawang putih yang berbeda akan menyebabkan rasa menjadi berbeda? Apakah perbedaan komponen lainnya juga akan mengakibatkan perbedaan rasa? Jelas bahwa masing-masing komponen akan memiliki konstribusi dalam menentukan cita rasa nasi goreng yang akan dibuat? Dari berbagai komponen itu, manakah yang paling menentukan rasa? Kontribusi ini dalam pemodelan statistika akan disebut dengan bobot atau koefisien pengaruh.

Persoalan yang ada secara empiris pada hubungan dua variabel ini tidak ada atau sangat kecil kemungkinannya bersifat pasti atau sempurna atau deterministik. Sebagai contoh sederhana, apabila Anda sedang membawa uang sebesar Rp 15.000,- mungkin pada hari itu akan bisa dibelanjakan untuk 1 kilogram telur. Akan tetapi pada waktu yang berbeda ternyata uang tersebut tidak cukup untuk membeli 1 kg telur karena harga telur sudah naik,  atau mungkin Anda akan mendapatkan uang kembalian karena di tempat Anda membeli telur dijual lebih murah. Pengaruh jumlah telur yang dibeli dengan uang yang harus dibayarkan ternyata berbeda dengan ketika Anda membeli premium di SPBU. Ketika pemerintah menetapkan harga premium Rp 4.500,- per liter, maka ketika anda membeli 10 liter premium di mana saja dan kapan saja pasti harus membayar sejumlah Rp 45.000,-. Contoh harga premium inilah yang disebut bersifat pasti atau deterministik, sedangkan harga telur bersifat tidak pasti atau probabilistik. Seperti pada gambar berikut yang menjelaskan tentang hubungan harga dengan kualitas produk helm, bahwa kemampuan membeli yang lebih tinggi akan memudahkan untuk mendapatkan helm dengan kualitas yang lebih baik.

Memanfaatkan Statistik Proporsi

Istilah proporsi ini bukanlah sebuah istilah baru dalam disiplin ilmu statistik maupun disiplin lainnya. Proporsi adalah bagian (persentase) atas suatu kejadian khusus dari keseluruhan data yang ada.

Pada suatu kesempatan saat mengikuti acara sebuah training, salah satu panitia bertanya ada berapa undangan lewat SMS yang telah disebar?

Apa yang menarik dari pertanyaan itu? Ternyata menurut owner training sudah ada statistik proporsi yang tepat untuk jumlah peserta berdasarkan total SMS yang disebar. Waktu itu dikatakan bahwa statistik proporsi peserta dengan undangan SMS adalah 4%. Artinya agar di peroleh jumlah peserta sebanyak 20 orang maka jumlah SMS yang harus disebar sebanyak 20*100%/4% atau 500 undangan SMS.

Bagaimana pandangan dari aspek statistika. Tentu saja proporsi 4% itu, bukan sebuah harga mati. Pasti akan ada toleransi harga proporsi yang biasa dikenal dengan proporsi batas bawah dan batas atas. Koq jadi penasaran ya? Simak contoh berikut ini.

Dalam uji proporsi, dengan menyebarkan 500 SMS dan didapatkan informasi sebelumnya bahwa proporsi dalam training adalah 4%, maka perlu dihitung berapa sebenarnya pergeseran nilai proporsi yang mungkin terjadi. Pertama, hitung nilai varian proporsi dengan rumus p(1-p)/n yaitu 0.04(1-0.04)/500 = 0.0000768. Kedua, tetapkan tingkat kesalahan yang diinginkan, misalnya 5%. Ketiga, hitung nilai kritis Z pada tingkat kesalahan 5% yaitu 1.96. Keempat, hitung salah baku proporsi dengan mengalikan nilai kritis Z dengan akar nilai varian, yaitu 1.96 kali akar dari 0.0000768 atau (1.96)(0.008764) = 0.0172. Kelima, hitung batas bawah proporsi dengan mengurangkan nilai proporsi terhadap salah baku proporsi, yaitu 0.04 – 0.0172 = 0.023. Keenam, hitung batas atas proporsi dengan menambahkan nilai proporsi terhadap salah baku proporsi, yaitu 0.04 + 0.0172 = 0.057.

Makna apa yang bisa diperoleh dari analisis ini? Sebaran SMS yang berjumlah 500 buah itu membuka kemungkinan terburuk bahwa yang akan hadir berjumlah 0.023×500 = 11.411 atau 11 orang, dan mampu menembus 0.057×500 = 28.588 atau 28 orang. Semoga bermaafaat, ternyata statistik proporsi dan nilai toleransinya adalah hal penting untuk dianalisis pada berbagai aspek kehidupan.